Il s'agit d'une des quatre surfaces fermées à deux dimensions (avec la sphère, le tore et la bouteille de Klein), exempte de points singuliers. Cette surface imaginée par Werner Boy en 1902, représente l'étape centrale du problème résolu théoriquement par Stephen Smale en 1957 : retourner la sphère sans la déchirer ni la plier.
Une surface de Boy réalisée en fils de fer a été présentée pendant une vingtaine d'années au Palais de la découverte.